.- DATOS DE LA
ASIGNATURA
Nombre de la asignatura:
Carrera:
Clave de la asignatura:
(Créditos) SATCA[1]
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Cálculo Vectorial
Todas las Ingenierías
3 - 2 - 5
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2.- PRESENTACIÓN
Caracterización de la
asignatura.
En
diversas aplicaciones de la ingeniería, la concurrencia de variables
espaciales y temporales, hace necesario el análisis de fenómenos naturales
cuyos modelos originan funciones vectoriales o escalares de varias variables.
Se diseña esta asignatura con el fin de proveer al alumno de herramientas
para analizar estas funciones de tal manera que se pueda predecir o estimar
su comportamiento, y estudiar conceptos relacionados con ellas; haciendo
hincapié en la interpretación geométrica siempre que sea posible.
El curso está diseñado de manera que posibilite al estudiante
para representar conceptos, que aparecen en el campo de la ingeniería, por
medio de vectores; resolver problemas en los que intervienen variaciones
continuas; resolver problemas geométricos en forma vectorial; graficar
funciones de varias variables; calcular derivadas parciales; resolver
integrales dobles y triples; aplicar las integrales en el cálculo de áreas y
volúmenes.
Con el
diseño de este curso se pretende que al mismo
tiempo que el alumno aprende el lenguaje de las matemáticas, adquiera
estrategias para resolver problemas; elabore desarrollos analíticos para la
adquisición de un concepto; piense conceptualmente, desarrolle actitudes para
la integración a grupos interdisciplinarios y aproveche los recursos que la
tecnología ofrece, como el uso de software de álgebra simbólica, calculadora
gráfica y computadora.
Intención didáctica.
La
característica más relevante de la materia es el tratamiento a nivel
intuitivo de los Campos escalares y vectoriales desde el inicio del curso,
con el fin de dotar de significado a muchos de los conceptos que se
estudiarán más adelante en el curso. El examinar y retomar, a lo largo de
todo el curso, la importancia geométrica y física de campos, como flujo de
calor, flujo de energía, el gravitatorio o el asociado con cargas; análisis
que servirá para dar significado a diversos subtemas del curso como álgebra
vectorial, superficies de nivel, longitud de arco, vector tangente, etc. Esto
permitirá que el alumno se sensibilice de la importancia del concepto “Campo”
en el desarrollo de las bases conceptuales de la física y la ingeniería, así
como en la consolidación del pensamiento científico.
La
propuesta es llegar a las formalizaciones a partir de lo concreto; por
ejemplo, primero se estudia la geometría de las operaciones vectoriales y
después estas operaciones.
En
la última unidad se aborda el concepto Integral de Riemann de funciones de
varias variables y el concepto de coordenadas esféricas y cilíndricas, cuya
intención es mostrar el potencial del cálculo en las aplicaciones donde se
calcula un volumen; es decir, no se pretende ser exhaustivo en la resolución
de distintos problemas sólo sensibilizar al alumno, del potencial que tiene
el uso de estas coordenadas.
En la sección “Unidades de aprendizaje”
se recomiendan actividades dirigidas a los estudiantes que pretenden servir
de ejemplo para activar competencias al mismo tiempo que se adquieren
conocimientos
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3.-
COMPETENCIAS A DESARROLLAR
Competencias
específicas
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Competencias genéricas
|
Interpretar,
reconstruir y aplicar modelos que representan fenómenos de la naturaleza en
los cuales interviene más de una variable continua, en diferentes contextos
de la ingeniería.
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·
Identificar
las variables presentes en un problema.
·
Relacionar
varias fuentes de información a la vez.
·
Reconocer
y definir un problema.
·
Analizar
fenómenos naturales
·
Sintetizar
información.
·
Descubrir
los datos relevantes.
·
Combinar
diferentes enfoques o puntos de vista.
·
Proyectar
imágenes en el espacio.
·
Inferir
y deducir principios.
·
Razonar
analógicamente.
·
Generar
hipótesis.
·
Diseñar
medios para verificar hipótesis.
·
Establecer
relaciones virtuales
·
Pensar
críticamente.
·
Desarrollar
pensamiento lógico matemático.
·
Usar
tecnologías computacionales y software para la graficación de funciones.
·
Buscar
y analizar información proveniente de fuentes diversas.
·
Comunicar
con precisión y claridad y de manera explícita sus ideas
·
Organizar
y planificar.
·
Tomar
decisiones.
·
Explorar
sistemáticamente la información.
·
Trabajar
en equipo.
·
Aplicar
los conocimientos a la práctica.
·
Codificar
y decodificar información de una modalidad a otra.
·
Generalizar
principios.
·
Tomar
conciencia de sus propias estrategias de aprendizaje.
·
Aprender
en forma autónoma
·
Buscar
estrategias para lograr sus objetivos.
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4.- HISTORIA DEL PROGRAMA
Lugar y fecha de elaboración o revisión
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Participantes
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Observaciones
(cambios y
justificación)
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NO TRAE
HISTORIA
|
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5.- OBJETIVO(S)
GENERAL(ES) DEL CURSO (competencia específica a desarrollar en el curso)
Conocer los principios y técnicas
básicas del Cálculo en Varias Variables para interpretar y resolver modelos que
representan fenómenos de la naturaleza en los cuales interviene más de una
variable continua.
6.-
COMPETENCIAS PREVIAS
Habilidad
para abstraer, analizar y sintetizar problemas al lenguaje algebraico, que
involucren el cálculo diferencial, integral y operaciones de álgebra lineal.
·
Dominio
de:
- Álgebra intermedia,
Trigonometría y Geometría Analítica.
- Determinantes de 2X2 Y 3X3.
- Funciones y sus diferentes
representaciones.
- Límites.
- Continuidad.
- Cálculo Diferencial.
- Sumas de Riemann.
- Cálculo Integral.
- Conocimiento de algunas de las
aplicaciones de la integral de Riemann.
- Conocimiento de la relación
entre derivada e integral de una función.
·
Habilidades:
- Usar el vocabulario propio de
las matemáticas.
- Uso de tecnologías de
información y comunicación, como: calculadora, computadora, Windows,
internet.
- Representar puntos, rectas,
planos y cónicas en el plano y en el espacio.
- Interpretar el comportamiento de
funciones.
- Interpretación y análisis de
problemas.
- Identificar las variables
importantes de un problema.
- Derivar funciones algebraicas y
trascendentes.
- Diferenciar.
- Mostrar geométricamente el
Teorema Fundamental del Cálculo.
- Emplear el teorema del valor
medio.
- Determinar el área comprendida
entre dos curvas.
- Calcular volúmenes de sólidos de
revolución.
- Resolver problemas usando las
diferentes técnicas de integración.
- Resolver integrales impropias.
- Resolver problemas prácticos
donde se requiere la utilización del cálculo diferencial e integral.
- Habilidad para codificar al
lenguaje algebraico, problemas que involucran el cálculo diferencial e
integral.
7.-
TEMARIO
Unidad
|
Temas
|
Subtemas
|
1
|
Algebra de vectores.
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1.1 Definición de un vector en R2,
R3 y su Interpretación geométrica.
1.2 Introducción a los campos escalares
y vectoriales.
1.3 La geometría de las operaciones
vectoriales.
1.4 Operaciones con vectores y sus
propiedades.
1.5 Descomposición vectorial en 3
dimensiones.
1.6 Ecuaciones de rectas y planos.
1.7 Aplicaciones físicas y geométricas.
|
2
|
Curvas en R2 y ecuaciones paramétricas.
|
2.1 Ecuación paramétrica de la línea recta.
2.2 Curvas planas.
2.3 Ecuaciones paramétricas de algunas curvas y su representación
gráfica.
2.4 Derivada de una función dada paramétricamente.
2.5 Coordenadas polares.
2.6 Graficación de curvas planas en coordenadas polares.
|
3
|
Funciones vectoriales de una
variable real.
|
3.1 Definición de función vectorial de
una variable real.
3.2 Graficación de curvas en función del
parámetro t.
3.3 Derivación de funciones vectoriales
y sus propiedades.
3.4 Integración de funciones vectoriales.
3.5 Longitud de arco.
3.6 Vector tangente, normal y binormal.
3.7 Curvatura.
3.8 Aplicaciones.
|
TEMARIO
(continuación)
Unidad
|
Temas
|
Subtemas
|
4
|
Funciones reales de varias variables.
|
4.1 Definición de una función de varias
variables.
4.2 Gráfica de una función de varias
variables.
4.3 Curvas y superficies de nivel.
4.4 Derivadas parciales de funciones de
varias variables y su interpretación geométrica.
4.5 Derivada direccional.
4.6 Derivadas parciales de orden
superior.
4.7 Incrementos, diferenciales y regla
de la cadena.
4.8 Derivación parcial implícita.
4.9 Gradiente.
4.10 Campos vectoriales.
4.11 Divergencia, rotacional, interpretación
geométrica y física.
4.12 Valores extremos de funciones de
varias variables.
|
5
|
Integración.
|
5.1 Introducción.
5.2 Integral de línea.
5.3 Integrales iteradas dobles y
triples.
5.4 Aplicaciones a áreas y solución de
problema.
5.5 Integral doble en coordenadas
polares.
5.6 Coordenadas cilíndricas y esféricas.
5.7 Aplicación de la integral triple en
coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.
|
8.-
SUGERENCIAS DIDÁCTICAS (desarrollo de competencias genéricas)
- Los
ejemplos de actividades sugeridas están dirigidas a los estudiantes, el
papel del profesor será el de mediador para lograr la co-reconstrucción
del conocimiento.
- Investigar
el origen histórico, el desarrollo y definiciones planteadas en los
conceptos involucrados en el tema.
- Analizar
y discutir, sobre la aplicación de los conceptos, en problemas reales
relacionados con la ingeniería en que se imparta esta materia.
- Presentar
siempre el concepto antes de su expresión matemática, posteriormente se
podrán hacer problemas numéricos.
- Propiciar
el uso de Software de matemáticas (Derive, Mathcad, Mathematica, Maple,
Matlab) o la calculadora graficadora como herramientas que faciliten la
comprensión de los conceptos, la resolución de problemas e interpretación
de los resultados.
- Abordar
el concepto de integral de funciones de varias variables como
generalización de la integral de funciones de una variable.
- Usar
algunas de las aplicaciones de la integral de Riemann.
- Promover
grupos de discusión y análisis sobre conceptos previamente investigados,
después establecer definiciones necesarias y suficientes para el
desarrollo del tema.
- Propiciar
actividades de búsqueda, selección y análisis de información en distintas
fuentes.
- Propiciar
el uso de las nuevas tecnologías en el desarrollo de la asignatura
(procesador de texto, hoja de cálculo, base de datos, graficador, Internet,
etc.).
- Fomentar
actividades grupales que propicien la comunicación, el intercambio
argumentado de ideas, la reflexión, la integración y la colaboración de y
entre los estudiantes.
- Propiciar,
en el estudiante, el desarrollo de actividades intelectuales de
inducción-deducción y análisis-síntesis, las cuales encaminan al alumno
hacia la investigación.
- Llevar
a cabo actividades prácticas que promuevan el desarrollo de habilidades
para la experimentación, tales como: identificación manejo y control de
variables y datos relevantes, planteamiento de hipótesis y trabajo en
equipo.
- Desarrollar
actividades de aprendizaje que propicien la aplicación de los conceptos,
modelos y metodologías que se van aprendiendo en el desarrollo de la
asignatura.
- Proponer
problemas que permitan al estudiante la integración de contenidos de la
asignatura y entre distintas asignaturas, para su análisis y solución.
- Relacionar
los contenidos de la asignatura con el cuidado del medio ambiente; así
como con las prácticas de una agricultura sustentable.
- Observar
y analizar fenómenos y problemáticas propias del campo ocupacional.
- Relacionar
los contenidos de esta asignatura con las demás del plan de estudios para
desarrollar una visión interdisciplinaria en el estudiante.
- Cuando
los temas lo requieran, utilizar medios audiovisuales para una mejor
comprensión del estudiante.
9.- SUGERENCIAS DE
EVALUACIÓN
La
evaluación debe ser continua y cotidiana por lo que se debe considerar el
desempeño en cada una de las actividades de aprendizaje, poniendo énfasis en:
- El
avance personal de cada estudiante.
- Reportes
escritos de las conclusiones hechas durante las actividades.
- Información
obtenida durante las investigaciones solicitadas, plasmadas en documentos
escritos.
- Exámenes
escritos para comprobar el manejo de contenidos teóricos y procedimentales.
10.-
UNIDADES DE APRENDIZAJE
Unidad 1: Álgebra de vectores.
Competencia específica a desarrollar
|
Actividades de Aprendizaje
|
·
Analizar
de manera intuitiva campos escalares y vectoriales del entorno.
·
Identificar
la manifestación de un vector en distintos contextos.
·
Resolver
con soltura operaciones entre vectores.
·
Determinar
ecuaciones de rectas y planos dados, así como asociar gráficas de planos y
rectas a ecuaciones dadas.
|
·
Hacer
una reseña histórica del nacimiento del Cálculo de varias variables, haciendo
hincapié en la situación económica, política y cultural del ambiente en el
que se desarrolló, así como la cognitiva, en cuanto al requisito particular
del ritmo instantáneo de cambio de variables, haciendo notar que en la
actualidad las funciones de varias variables tienen muchas aplicaciones ya
que se pueden describir fenómenos mediante la interdependencia de varias
variables.
·
Mediar
para que los alumnos llenen las líneas intercaladas en la introducción a los
Sistemas R2 y R3, y hacer las figuras mencionadas (Ver
práctica #1).
·
Proponer
la elaboración gráfica de una situación que implique suma de vectores y
posteriormente pedir que se permuten los vectores, solicitar que el alumno
arroje un principio (el de conmutación de vectores).
·
Graficar
los vectores de un campo vectorial a partir de una expresión de la física.
·
Mostrar
diversas gráficas de campos escalares y vectoriales pidiendo al alumno que
identifique las diferencias e iniciar la construcción de las operaciones
vectoriales.
·
A
partir de la geometría de las operaciones vectoriales, inducir la
construcción de las propiedades de las operaciones.
|
Unidad 2: Curvas en R2 y ecuaciones
paramétricas.
Competencia específica a desarrollar
|
Actividades de Aprendizaje
|
Construir
la gráfica de una curva plana en forma paramétrica eligiendo la técnica más
apropiada.
|
·
Elige
un punto y un director de tu campo.
·
Escribe
la ecuación de la línea recta.
·
Extiéndela
a una forma vectorial.
·
Interprétala
geométricamente.
·
Realiza
las operaciones indicadas.
·
Las
ecuaciones obtenidas se llaman ecuaciones paramétricas de la recta.
·
Desdobla
la igualdad en dos igualdades escalares.
·
Una
recta pasa por el punto A(-1,3) y tiene un vector director V = (2,5), escribe
sus ecuaciones paramétricas.
·
Da
valores al parámetro t y grafica el conjunto de vectores de posición que
obtienes.
·
Introduce
tus datos en un graficador.
·
Compara
tu gráfica con las gráficas examinadas en la unidad 1, identifica semejanzas
y diferencias.
·
Visualizar,
con ayuda del software, gráficas de curvas planas.
|
Unidad 3: Funciones vectoriales de
una variable real.
Competencia específica a desarrollar
|
Actividades
de Aprendizaje
|
· Reconocer una función vectorial en
distintos contextos y manejarla como un vector.
· Manejar con soltura ecuaciones
paramétricas y el software para graficar curvas.
· Analizar gráficas de curvas de
funciones vectoriales en el espacio.
· Determinar los parámetros que
definen una curva en el espacio.
|
· Introducir la problemática relativa
al movimiento en el espacio y al análisis de curvas.
· Abordar los conceptos con ejemplos
de la cinemática, mencionando el
movimiento.
· A partir de analogías extender el
concepto de función real de variable real a función vectorial de variable
real.
· Visualizar, con ayuda del software,
gráficas relativas a funciones vectoriales.
|
Unidad 4: Funciones reales de
varias variables.
Competencia específica a desarrollar
|
Actividades
de Aprendizaje
|
· Analizar de manera formal campos
escalares y vectoriales.
· Calcular derivadas parciales y
direccionales, determinar gradientes, planos tangentes y valores extremos de una
función.
· Resolver problemas que involucran
varias variables.
|
· Proponer la identificación del
dominio de una función, hacer representaciones gráficas.
· Siempre proponer aplicaciones
físicas de este tipo de funciones.
· Utilizar software que ayude a
visualizar las gráficas y a realizar operaciones.
|
Unidad 5: Integración.
Competencia específica a desarrollar
|
Actividades
de Aprendizaje
|
· Plantear y resolver integrales a
partir de una situación propuesta, eligiendo el sistema de coordenadas más
adecuado.
· Usar software para hallar la
representación gráfica de un campo vectorial.
|
· Partiendo de los conceptos de
integral de Riemann vistos en Matemáticas 2, hacer una generalización al
concepto de integral de funciones de varias variables, interpretándola
primero como un área y solicitar que los alumnos la generalicen y lleguen a
su interpretación como volumen.
· Iniciar la unidad con ejemplos de
masas y cargas eléctricas.
· Formalizar el concepto de campo
vectorial como una generalización del concepto de gradiente.
|
11.-
FUENTES DE INFORMACIÓN
- Aleksandrov, A. D., Kolmogorov A.
N., Laurentiev M. A. La matemática:
su contenido, métodos y significado. Madrid, Alianza Universidad,
1985.
- Boyer
C. B. (1959). The history of the
Claculus and its conceptual development. New York, Dover Publications
Inc.
- Bressoud
- Crowe
M. J. (1985). A history of Vector
Analysis (The evolution of the Idea of a Vectorial System). New York,
Dover Publications Inc.
- Kline
M. (1977). Calculus: an intuitive
and physical approach. 2nd edition, New York, Dover
Publications Inx.
- Marsden J. E. & Tromba A. J.
(2004). Cálculo vectorial, 5ª.
edición, Wilmington, Addison-Wesley Iberoamericana.
- Stewart J. (1999). Cálculo
multivariable. México, Thomson.
- Swokowsky E. (1989). Cálculo con geometría analítica,
2ª. edición, México, Grupo Editorial Iberoamérica.
Software:
DERIVE
DPGRAPH
GYROGRAPHICS
MATHEMATICA
MATHCAD
MAPLE
12.-
PRÁCTICAS PROPUESTAS
Práctica # 1:
Los
científicos utilizan el término vector para indicar una cantidad que tiene
magnitud y dirección (por ejemplo, ___________, ___________________). Un vector
suele representarse por una flecha o un segmento de recta. La longitud de la
flecha representa la magnitud (________________) del vector y la flecha
representa la _______________ del vector. Por ejemplo, la figura 1 muestra una
partícula moviéndose a lo largo de una trayectoria en el plano y su vector de
velocidad v en una ubicación
específica de la trayectoria.
Actividad: Haz la figura 1.
Aquí,
la longitud de la flecha representa la velocidad de la partícula y apunta en la
dirección en que se mueve. La figura 2 muestra la trayectoria de una partícula
que se mueve en el espacio. Aquí el vector de velocidad v es un vector tridimensional.
Actividad: Haz la figura 2.
Práctica
# 2
Considera
un conjunto de funciones y resuelve un problema del curso usando todos los
paquetes de software disponibles.
o
¿Cuál
es más “amigable”?
o
¿Con
cuál resolviste el problema más rápidamente?
o
¿Cuál
da soluciones más fáciles de interpretar?
o
¿Cuál
da a solución más confiable?
o
¿Cuál
escogerías para trabajar de manera cotidiana?
Escribe un reporte con las respuestas
a las preguntas anteriores y agrega las dificultades que encontraste en el
proceso y las formas en que las resolviste. Compara tus experiencias con tus
compañeros